При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} 2[x]-3[y]=7,\\ 3x+2y=a \end{cases} \] имеет единственное решение? Здесь $[z]$ — целая часть числа $z$ — наибольшее целое число, не превосходящее $z$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x=(4a-2)^2$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^4}$ являются целыми.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-x\left(a^2+a+1\right)+a^3+a^2\leqslant 0 \] содержит ровно четыре целых значения $x$? В ответе укажите число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ множество решений неравенства \[ 15x^2-2(n+15)x+(n-6)(20-n)\leqslant0 \] содержит ровно $3$ целых числа?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-\left(a^2+a-1\right)x+a^3-a^2\leqslant0 \] содержит ровно пять целых значений $x$? Ответом должно являться число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\left(x^2-4x+5-a\right)(x-a+1)}{\sqrt{9-x}}\gt 0,\\ \log_{\frac{x^2-4x}{5}}a\leqslant1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 3\sqrt[3]{\log_x^7 2}+6\sqrt[3]{\log_x^4 2}+a^2\leqslant a\log_x^2 2+2a\log_x 2+3a\sqrt[3]{\log_x 2} \] не выполняется ни для одного $x$ из интервала $(1;2)$. Укажите решения неравенства при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ 3x^2\log_a x-\log_x a-2x\geqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система \[\begin{cases}\log_2(3-x+y)+3=\log_2(25-6x+7y),\\ y+2=(x-2a)^2+a+2x\end{cases}\] имеет два решения.
Ответ:
Решение:
Найти все $a$, при которых уравнение \[\log_5\left(x+\sqrt{2-a}\right)+\log_{\frac{1}{5}}(a-1-x)=\log_{25}9\] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x+4|}(ax+5a)=2\log_{|x+4|}(x+y),\\ x+2+\sqrt{x^2+4x+y-2}=0 \end{cases} \] имеет два различных решения, и найдите эти решения при каждом $a$.
Ответ:
Решение:
Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x-1|}(ax)=2\log_{|x-1|}(x+y),\\ 3-x=\sqrt{x^2-6x+y+8} \end{cases} \] имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2\left(2x^2+(2a+1)x-2a\right)-2\log_4\left(x^2+3ax+2a^2\right)=0\]имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ a\cdot4^{\frac1x-1}+(a-1)\cdot2^{\frac1x}-a^3+3a-2=0 \] не имеет корней.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 16^x-6\cdot8^x+8\cdot4^x+(2-2a)\cdot2^x-a^2+2a-1=0 \] имеет ровно три различных корня.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно, пустое) решений неравенства \[ \log_2\left(x^2+4ax+4a^2-a\right)\lt 2, \] меньше 2.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых графики функций \[f(x)=3^{2x^2-4x+3}+a^3\quad\text{и}\quad g(x)=a\cdot3^{x^2-2x+3}-5\] имеют ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Сколько существует значений параметра $a$, при которых уравнение \[ 4a^2+3x\lg x+3\lg^2 x=13a\lg x+ax \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(a,b)$, при которых множество решений неравенства \[ \log_{2014}(2x+a)\gt x^2-2x-b \] совпадает с промежутком $(1;2)$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\log_7\left(7^x-\log_7 a\right)=2x\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение: